Question

13．若實數a使函數y=（a+6）x²-3x+$\frac{a+5}{a+6}$的圖象同時經過四個象限，并且使不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}+\frac{x+a}{3}＜1}\\{x-2≥3}\end{array}\right.$無解，則所有符合條件的整數a的積是（　�。�

• A． -336
• B． 56
• C． 0
• D． 42

Answer 1

分析 根據函數圖象經過四個象限，需滿足3個條件：（Ⅰ）函數是二次函數；（Ⅱ）二次函數與x軸有兩個交點；（Ⅲ）兩個交點必須要在y軸的兩側，即兩個交點異號．列不等式組，不等式組變形后，根據無解確定出a的范圍，進而求出之積．

解答 解：∵函數y=（a+6）x²-3x+$\frac{a+5}{a+6}$的圖象同時經過四個象限，需滿足3個條件：
（I）函數是二次函數，
（II）二次函數與x軸有兩個交點．
（III）兩個交點必須要在y軸的兩側，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+6≠0}\\{（-3）^{2}-4（a+6）•\frac{a+5}{a+6}＞0}\\{\frac{a+5}{（a+6）^{2}}＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-5；
∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}+\frac{x+a}{3}＜1}\\{x-2≥3}\end{array}\right.$無解，得到a≥-8，
∴-8≤a＜-5，
∵a≠-6，
∴所有符合條件的整數a是-8，-7，
∴所有符合條件的整數a的積是-8×（-7）=56，
故選B．

點評 本題考查解一元一次不等式組，二次函數的圖象與性質、二次函數與x軸的交點、二次函數與y軸交點等知識點，解題關鍵是確定“函數圖象經過四個象限”所滿足的條件．