Question

8．如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點E，且BE=5，CE=4，則AB的長是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{41}}}{2}$
• B． 5
• C． $\sqrt{29}$
• D． 3

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點E，易證得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形，則可求得BC的長，繼而求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=90°，
∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AB=AE，CD=DE，
∴AD=BC=2AB，
∵BE=5，CE=4，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{41}}{2}$；
故選：A．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定與性質以及直角三角形的性質．注意證得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形是關鍵．