Question

5．如圖所示，△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過點C作∠ACD=∠ABC，交BA的延長線于點D，若∠ABC=45°，∠D=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求$\widehat{AB}$的長．

Answer 1

分析 （1）證明：連接OA、OC，得到∠AOC=2∠ABC=90°，求得∠OCA=∠OAC=45°，于是得到OC⊥CD．由切線的判定定理即可得到結論；
（2）連接OB．根據三角形的內角和得到∠ACB=∠BCD-∠ACD=105°-45°=60°，由圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根據弧長公式即可得到結論．

解答 （1）證明：連接OA、OC．則∠AOC=2∠ABC=90°，
∵在△AOC中，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
又∵∠ACD=45°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°+45°=90°，
∴OC⊥CD．
即CD是⊙O的切線；
（2）解：連接OB．
∵∠ABC=45°，∠D=30°，∠ACD=∠ABC=45°，
∴在△BCD中，∠BCD=180°-∠ABC-∠D=180°-45°-30°=105°，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=105°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴$\widehat{AB}$的長為：$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，弧長的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．