Question

17．如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標軸的交點，AB為半圓的直徑，拋物線的解析式為y=x²-2x-3，求這個“果圓”被y軸截得線段CD的長3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將x=0代入拋物線的解析式得y=-3，故此可得到DO的長，然后令y=0可求得點A和點B的坐標，故此可得到AB的長，由M為圓心可得到MC和OM的長，然后依據勾股定理可求得OC的長，最后依據CD=OC+OD求解即可．

解答 解：連接AC，BC．
∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴點D的坐標為（0，-3），
∴OD的長為3．
設y=0，則0=x²-2x-3，解得：x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）．
∴MC=2，OM=1．
在Rt△COB中，OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴CD=CO+OD=3+$\sqrt{3}$，即這個“果圓”被y軸截得的線段CD的長3+$\sqrt{3}$．
故答案為：3+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了坐標軸上點的坐標特點，圓的概念和性質，勾股定理等知識點，求的點D的坐標以及OC的長是解題的關鍵．