Question

2．2016年里約奧運會，中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌，優秀成績的取得離不開艱辛的訓練．某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板AB長為2米，跳板距水面CD的高BC為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度k米，現以CD為橫軸，CB為縱軸建立直角坐標系．
（1）當k=4時，求這條拋物線的解析式；
（2）當k=4時，求運動員落水點與點C的距離；
（3）圖中CE=$\frac{19}{4}$米，CF=$\frac{21}{4}$米，若跳水運動員在區域EF內（含點E，F）入水時才能達到訓練要求，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線頂點坐標M（3，4），可設拋物線解析為：y=a（x-3）²+4，將點A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函數解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水運動員在區域EF內（含點E，F）入水達到訓練要求，則在函數y=a（x-3）²+k中當x=$\frac{19}{4}$米，y＞0，當x=$\frac{21}{4}$米時y＜0，解不等式即可得．

解答 解：（1）如圖所示：

根據題意，可得拋物線頂點坐標M（3，4），A（2，3）
設拋物線解析為：y=a（x-3）²+4，
則3=a（2-3）²+4，
解得：a=-1，
故拋物線解析式為：y=-（x-3）²+4；
（2）由題意可得：當y=0，則0=-（x-3）²+4，
解得：x₁=1，x₂=5，
故拋物線與x軸交點為：（5，0），
當k=4時，求運動員落水點與點C的距離為5米；
（3）根據題意，拋物線解析式為：y=a（x-3）²+k，
將點A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3-k
若跳水運動員在區域EF內（含點E，F）入水，
則當x=$\frac{19}{4}$時，y=$\frac{49}{16}$a+k≥0，即$\frac{49}{16}$（3-k）+k≥0，
解得：k≤$\frac{49}{11}$，
當x=$\frac{21}{4}$時，y=$\frac{81}{16}$a+k≤0，即$\frac{81}{16}$（3-k）+k≤0，
解得：k≥$\frac{243}{65}$，
故$\frac{243}{65}$≤k≤$\frac{49}{11}$．

點評 此題主要考查了二次函數的應用，根據題意利用頂點式求出二次函數解析式是解題基礎，判斷入水的位置對應的拋物線上點的坐標特點是解題關鍵．