Question

10．如圖，已知二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B，C，點C的坐標為（8，0），連接AC、AC．
（1）請直接寫出二次函數y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表達式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時N的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A和點C的坐標代入代入拋物線的解析式，求得a，c的值即可；
（2）先求得點B的坐標，從而得到BC=10，然后依據勾股定理可求得AB²、AC²的值，最后依據勾股定理的逆定理進行判斷即可；
（3）設點N的坐標為（n，0）（-2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8-n，利用平行線分線段成比例定理可得到$\frac{AM}{AB}$=$\frac{NC}{BC}$=$\frac{8-n}{10}$，然后依據等高的兩個三角形的面積比等于底邊的長度比可得到S_△AMN與n的函數關系式，最后利用二次函數的性質可求得△AMN的面積取得最大值時點N的坐標．

解答 解：（1）將點A和點C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，c=4．
∴該二次函數的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
（2）令y=0得：-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，解得：x=-2或x=8，
∴點B（-2，0）．
∴BC=10．
在Rt△AOB和Rt△AOC中，依據勾股定理可知：AB²=OB²+AO²=20，AC²=OA²+OC²=80，
∴AB²+AC²=BC²．
∴△ABC為直角三角形．
（3）設點N的坐標為（n，0）（-2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8-n．
∵MN∥AC，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{NC}{BC}$=$\frac{8-n}{10}$．
∵AO=4，BC=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AO=$\frac{1}{2}$×4×10=20．
∴S_△ABN=$\frac{n+2}{10}$S_△ABC=2（n+2）．
∴S_△AMN=$\frac{8-n}{10}$S_△AMN=$\frac{1}{5}$（8-n）（n+2）=-$\frac{1}{5}$（n-3）²+5．
∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大，最大值為5．

點評 本題主要考查的是二次函數函數的綜合應用，解答本題主要應用了勾股定理、勾股定理的逆定理、平行線分線段成比例定理，列出△AMN的面積與點N的橫坐標n之間的關系式是解題的關鍵．