Question

19．已知AC為⊙O的切線，點B為⊙O上一點，連接BC、AB，AB與⊙O交于點D，連接CD，∠BDC=2∠B．
（1）如圖1，求證：DC=DA；
（2）如圖2，過O點作OE⊥BC于G交⊙O于點E，交AB于點K，連按DE，求證：DE∥AC．

Answer 1

分析 （1）過點C作直徑CF，連接DF，如圖1，利用圓周角定理得到∠F+∠FCD=90°，∠B=∠F，再根據切線的性質得到∠FCD+∠ACD=90°，則∠B=∠ACD，然后根據三角形外角性質可證明∠A=∠ACD，從而有DA=DC；
（2）利用垂徑定理得到$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，則根據圓周角定理得到∠1=∠2，利用（1）的結論得∠BDC=2∠ACD，所以∠2=∠ACD，于是根據平行線的判定可得到DE∥AC．

解答 證明：（1）過點C作直徑CF，連接DF，如圖1，
∵CF為直徑，
∴∠CDF=90°，
∴∠F+∠FCD=90°，
∵∠B=∠F，
∴∠B+∠FCD=90°，
∵AC為切線，
∴FC⊥AC，
∴∠FCA=90°，即∠FCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠BDC=2∠B，
∴∠BDC=2∠ACD，
而∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠A=∠ACD，
∴DA=DC；

（2）∵OE⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠1=∠2，
∵∠BDC=2∠ACD，
∴2∠2=2∠ACD，
即∠2=∠ACD，
∴DE∥AC．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了垂徑定理．