Question

8．如圖，四邊形ABCO為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），將此矩形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形DEFO，拋物線y=-x²+bx+c過B，E兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）將矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此拋物線上，求平移距離．
（3）將矩形DEFO向上平移距離d，并且使此拋物線的頂點(diǎn)在此矩形的邊上，則d的值是$\frac{25}{9}$或$\frac{34}{9}$．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）矩形ABCO的中心坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，1），可得1=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$，解得x=-$\frac{4}{3}$或2，所以平移距離d=-$\frac{1}{2}$-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{5}{6}$．
（3）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)E坐標(biāo)，即可解決問題．

解答 解：（1）由題意，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{-（-1）^{2}-b+c=2}\\{-{2}^{2}+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$．

（2）∵矩形ABCO的中心坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，1），
∴1=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$，
解得x=-$\frac{4}{3}$或2，
∴平移距離d=-$\frac{1}{2}$-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{5}{6}$．

（3）∵y=-x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{11}{3}$=-（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{34}{9}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{34}{9}$），
∵E（2，1），
∴平移距離d=$\frac{34}{9}$或$\frac{34}{9}$-1=$\frac{25}{9}$，
故答案為$\frac{25}{9}$或$\frac{34}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)與幾何變換，矩形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變換、平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．