Question

18．已知，如圖（1），PAB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC²=PA×PB，
（1）求證：?∠PCA=∠PBC；?直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖（2），作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑；
（3）如圖（3），若⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{10}$，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一點Q，使得PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）?根據已知條件得到$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PC}$，推出△PCA∽△PBC，根據相似三角形的性質得到∠PCA=∠PBC，作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P過直徑的一端點C，于是得到結論；
?（2）作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，根據勾股定理得到BE=2$\sqrt{10}$，于是得到結論；
（3）取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，連接QO、QM，得到OG=$\frac{1}{2}$OM=1，根據相似三角形的性質得到$\frac{QG}{QM}=\frac{OQ}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM，根據兩點之間線段最短，即可得到結論．

解答 （1）?證明：∵PC²=PA×PB，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PC}$，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC經過直徑的一端點C，
∴直線PC是⊙O的切線；

?（2）解：作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE²=CE²+BC²=2²+6²=40，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴R=$\sqrt{10}$；

（3）解：取OM中點G，連接PG與⊙O的交點就是符合條件的點Q，
連接QO、QM，
∵MO=2，
∴OG=$\frac{1}{2}$OM=1，
∵⊙O的半徑r=OQ=$\sqrt{2}$，
∴OQ²=OG•OM，
∵∠MOQ=∠QOG，
∴△MOQ∽△QOG，
∴$\frac{QG}{QM}=\frac{OQ}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM，
∴PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM=PQ+QG=PG，
根據兩點之間線段最短，
此時PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM=PQ+QG=PG最小，
∴PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM最小值為PG=$\sqrt{P{O}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}+1}$=$\sqrt{11}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，切線的判定，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．