Question

9．如圖，點E，F(xiàn)分別是?ABCD兩邊AB、BC的中點，且AF、AC分別與ED交于M、N兩點，有下列結(jié)論：①MN：ME=2：3；②MN：DN=1：4；③N是DE的三等分點；④△AMN～△DMA．其中正確的是：①③．（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

Answer 1

分析 如圖1中，延長DC交AF于H．與△ABF≌△CHF，推出AB=CF=CD，由AE=EB，AE∥DH，推出$\frac{EM}{MD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{EN}{DN}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EM=a，則DM=4a，EN=$\frac{5}{3}$a，DN=$\frac{10}{3}$a，MN=$\frac{2}{3}$a，可得EM：MN=3：2，MN：DN=1：5，EN：DN=1：2，推出①③正確，②錯誤，如圖2中，當(dāng)AF⊥BC時，顯然⊥ANM≠∠MAD，∴△AMN與△ADM不相似．故④錯誤．

解答 解：如圖1中，延長DC交AF于H．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DH，AB=CD，
∴∠B=∠HCF，
在△ABF和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠HCF}\\{FB=CF}\\{∠ABF=∠CFH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CHF，
∴AB=CF=CD，
∵AE=EB，AE∥DH，
∴$\frac{EM}{MD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{EN}{DN}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)EM=a，則DM=4a，EN=$\frac{5}{3}$a，DN=$\frac{10}{3}$a，MN=$\frac{2}{3}$a，
∴EM：MN=3：2，MN：DN=1：5，EN：DN=1：2，
∴①③正確，②錯誤，
如圖2中，當(dāng)AF⊥BC時，顯然⊥ANM≠∠MAD，∴△AMN與△ADM不相似．故④錯誤．

故答案為①③．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．