Question

4．如圖，已知二次函數y=ax²+bx的圖象經過點A（2，4）和B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）求該二次函數的圖象的頂點坐標；
（3）C是該二次函數的圖象上A，B兩點之間的一個動點，點C的橫坐標為x，寫出四邊形OBCA的面積S關于點C的橫坐標x的函數解析式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標分別代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，然后給解方程組即可得到a和b的值；
（2）有（1）得到拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x，然后利用配方法把一般式配成頂點式，從而得到拋物線的頂點坐標；
（3）作AM⊥x軸于點M，CN⊥x軸于N，如圖，設C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），利用S_{四邊形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB可得到S與x的關系，然后利用二次函數的性質求S的最大值．

解答 解：（1）把A（2，4）和B（6，0）分別代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=4}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x
因為y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
所以拋物線的頂點坐標為（3，$\frac{9}{2}$）；
（3）作AM⊥x軸于點M，CN⊥x軸于N，如圖，設C（x，-$\frac{1}{2}$x²+3x），
∵S_{四邊形OBCA}=S_△AOM+S_梯形AMNC+S_△CNB，
∴S=$\frac{1}{2}$•2•4+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+3x+4）（x-2）+$\frac{1}{2}$•（6-x）•（-$\frac{1}{2}$x²+3x）
=-x2+8x
=-（x-4）²+16（2＜x＜6），
當x=4時，S有最大值，最大值為16．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會運用待定系數法求拋物線的解析式；能運用分割法求不規則圖形的面積．