Question

16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…，A_n在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B_n在二次函數y=x²位于第一象限的圖象上，若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A_n-1B_nA_n都是等腰直角三角形，其中∠B₁=∠B₂=∠B₃=…=∠B_n=90°，則：
點B₁的坐標為（1，1）；
線段A₁A₂的長為4；
△A_n-1B_nA_n的面積為n²．

Answer 1

分析 作B₁C⊥y軸于C，B₂D⊥y軸于D，如圖，設OC=a，根據等腰直角三角形的性質得到OC=A₁C=CB₁=a，則B₁（a，a），再把B₁（a，a）代入y=x²得a₁=0（舍去），a₂=1，所以B₁（1，1），同理可得B₂（2，4），則線段A₁A₂的長為4，利用上述規律得到A₂A₃=6，A_n-1A_n=2n，然后根據等腰直角三角形的面積公式計算∴△A_n-1B_nA_n的面積．

解答 解：作B₁C⊥y軸于C，B₂D⊥y軸于D，如圖，
設OC=a，
∵△OB₁A₁為等腰直角三角形，
∴OC=A₁C=CB₁=a，
∴B₁（a，a），
把B₁（a，a）代入y=x²得a²=a，解得a₁=0（舍去），a₂=1，
∴B₁（1，1），
設A₁D=b，
∵△A₁B₂A₂為等腰直角三角形，
∴A₁D=A₂D=DB₂=b，
∴B₂（b，b+2），
把B₂（b，b+2）代入y=x²得b²=b+2，解得b₁=-1（舍去），b₂=2，
∴B₂（2，4），
∴線段A₁A₂的長為4，
同理可得A₂A₃=6，A_n-1A_n=2n，
∴△A_n-1B_nA_n的面積=$\frac{1}{2}$•2n•n=n²．
故答案為（1，1）；4；n²．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了等腰直角三角形的性質．