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8.在平面直角坐標系xOy中,若P和Q兩點關于原點對稱,則稱點P與點Q是一個“和諧點對”,表示為[P,Q],比如[P(1,2),Q(-1,-2)]是一個“和諧點對”.
(1)寫出反比例函數y=$\frac{1}{x}$圖象上的一個“和諧點對”;
(2)已知二次函數y=x2+mx+n,
①若此函數圖象上存在一個和諧點對[A,B],其中點A的坐標為(2,4),求m,n的值;
②在①的條件下,在y軸上取一點M(0,b),當∠AMB為銳角時,求b的取值范圍.

分析 (1)由題目中所給和諧點對的定義可知P、Q即為關于原點對稱的兩個點,在反比例函數圖象上找出兩點即可;
(2)①由A、B為和諧點對可求得點B的坐標,則可得到關于m、n的方程組,可求得其值;②當M在x軸上方時,可先求得∠AMB為直角時對應的M點的坐標,當點M向上運動時滿足∠AMB為銳角;當點M在x軸下方時,同理可求得b的取值范圍.

解答 解:
(1)∵y=$\frac{1}{x}$,
∴可取[P(1,1),Q(-1,-1)];
(2)①∵A(2,4)且A和B為和諧點對,
∴B點坐標為(-2,-4),
將A和B兩點坐標代入y=x2+mx+n,可得$\left\{{\begin{array}{l}{4+2m+n=4}\\{4-2m+n=-4}\end{array}}\right.$,
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-4}\end{array}}\right.$;
②(ⅰ) M點在x軸上方時,
若∠AMB 為直角(M點在x軸上),則△ABC為直角三角形,
∵A(2,4)且A和B為和諧點對,
∴原點O在AB線段上且O為AB中點,
∴AB=2OA,
∵A(2,4),
∴OA=$2\sqrt{5}$,
∴AB=$4\sqrt{5}$,
在Rt△ABC中,
∵O為AB中點
∴MO=OA=$2\sqrt{5}$,
若∠AMB 為銳角,則$b>2\sqrt{5}$;
(ⅱ) M點在x軸下方時,同理可得,$b<-2\sqrt{5}$,
綜上所述,b的取值范圍為$b>2\sqrt{5}$或$b<-2\sqrt{5}$.

點評 本題為反比例函數的綜合應用,涉及中心對稱、待定系數法、直角三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識.在(1)中理解題目中所給的和諧點對的實質是關于原點對稱的兩個點是解題的關鍵,在(2)①中利用和諧點對的定義求得點B的坐標是解題的關鍵,在(2)②中求得使∠AMB為直角時點M的坐標是解題的關鍵.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.

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②如圖3,點P關于⊙O的反演點為點P',點P'在正比例函數y=$\sqrt{3}$x位于第一象限內的圖象上,△P'OA的面積為6$\sqrt{3}$,求點P的坐標;
(2)點P是二次函數y=x2-2x-3(-1≤x≤4)的圖象上的動點,以O為圓心,$\frac{1}{2}$OP為半徑作圓,若點P關于⊙O
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柑橘總質量n/Kg50100150200250300350400450500
損壞柑橘質量m/Kg5.5010.5015.1519.4224.2530.9335.3239.2444.5751.51
柑橘損壞的頻率$\frac{m}{n}$
(結果保留小數點后三位)
0.1100.1050.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103

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