Question

6．關于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0至少有一個整數根，則整數k可以是0．

Answer 1

分析 分k=0和k≠0兩種情況考慮．當k=0時可求出x的值，從而得出k=0符合題意；當k≠0時，由方程有解結合根的判別式即可得出△=-（3k²-1）（k²+1）≥0，由此可得出3k²-1≤0，結合k為整數且非零可知該不等式無解．綜上即可得出結論．

解答 解：當k=0時，有x+1=0，
解得：x=-1，
∴k=0符合題意；
當k≠0時，關于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0為一元二次方程，
∵關于x的方程k²x²-（k+1）²x+k²+1=0有實數根，
∴△=（k+1）⁴-4k²（k²+1）=-3k⁴-2k²+1=-（3k²-1）（k²+1）≥0，
∴3k²-1≤0，k²+1≥0，
∴k²$≤\frac{1}{3}$，
∵k為整數，且k≠0，
∴不等式k²$≤\frac{1}{3}$無解．
綜上所述：整數k的值為0．

點評 本題考查了根的判別式、解一元一次方程以及一元二次不等式，解題的關鍵是分k=0和k≠0兩種情況考慮．