Question

11．如圖，四邊形ABCD為正方形，H是AD上任意一點，連接CH，過B作BM⊥CH于M，交AC于F，過D作DE∥BM交AC于E，交CH于G，在線段BF上作PF=DG，連接PG，BE，其中PG交AC于N點，K為BE上一點，連接PK，KG，若∠BPK=∠GPK，CG=12，KP：EF=3：5，求$\frac{KG}{EG}$的值為$\frac{\sqrt{505}}{15}$．

Answer 1

分析 連接DF，構建菱形EBFD和平行四邊形GPFD，證明KP∥EF，得△BPK∽△BFE，列比例式為$\frac{PK}{EF}=\frac{BP}{BF}$=$\frac{3}{5}$，設BP=3x，BF=5x，則PF=CM=DG=2x，EG=3x，根據BM=12列方程解出x的值，計算EG的長；
設AC與KG交于點O，過K作KP⊥AC于P，過G作GQ⊥AC于Q，則KP∥GQ，根據同角的三角函數求KP、GQ、OP、OQ的長，證明△KIO∽△GQO，根據相似比為2：3分別求OK、OG的長，并相加即可得KG的長，最后計算比值即可．

解答 解：連接DF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠MCD=90°，
∵BM⊥CH
∴∠BMC=90°，
∴∠BCM+∠MBC=90°，
∴∠MCD=∠MBC，
∵DE∥BM，
∴∠DGC=∠BMG=90°，
∴∠DGC=∠BMC=90°，
∴△BMC≌△CGD，
∴BM=CG=12，CM=DG，
∵PF=DG，
∴PF=DG=CM，
在△ABE和△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAE=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=ED，∠AEB=∠AED，
∴∠BEF=∠FED，
∵DE∥BM，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴BE=BF=ED，
∴四邊形EBFD是菱形，
∴∠BFE=∠EFD，
∴GD=PF，GD∥PF，
∴四邊形GPFD是平行四邊形，
∴GP∥DF，
∴∠BPG=∠BFD，
∵∠BPK=∠KPG，
∴2∠BPK=2∠BFE，
∴∠BPK=∠BFE，
∴PK∥EF，
∴△BPK∽△BFE，
∴$\frac{PK}{EF}=\frac{BP}{BF}$=$\frac{3}{5}$，
設BP=3x，BF=5x，則PF=CM=DG=2x，EG=3x，
∵FM∥DE，
∴△CFM∽△CEG，
∴$\frac{FM}{EG}=\frac{CM}{CG}$，
∴$\frac{FM}{3x}=\frac{2x}{12}$，
∴FM=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∵BM=12，
∴BF+FM=12，
5x+$\frac{{x}^{2}}{2}$=12，
解得：x₁=2，x₂=-12（舍），
∴EG=3x=6；FM=$\frac{{2}^{2}}{2}$=2，CM=2x=4，
∵∠BKP=∠BPK，
∴BK=BP=3x=6，
∵BF=5x=10，
∴EK=10-6=4，
設AC與KG交于點O，過K作KI⊥AC于I，過G作GQ⊥AC于Q，則KI∥GQ，
∵∠BEF=∠DEF，
∴$\frac{EK}{EG}=\frac{OK}{OG}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠BEF=∠BFE=∠CFM，
∴tan∠BEF=tan∠CFM=$\frac{CM}{FM}$=$\frac{KI}{EI}$=$\frac{4}{2}$=2，
∵EK=4，
∴KI=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，EI=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
 同理得：GQ=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，EQ=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴IQ=EQ-EI=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵KI∥GQ，
∴△KIO∽△GQO，
∴$\frac{OI}{OQ}$=$\frac{OK}{OG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OI}{IQ}$，
∴OI=$\frac{2}{5}$×IQ=$\frac{2}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{25}$，
由勾股定理得：OK=$\sqrt{K{P}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{25}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{505}}{25}$，
∴OG=$\frac{6\sqrt{505}}{25}$，
∴KG=OK+OG=$\frac{2\sqrt{505}}{5}$，
∴$\frac{KG}{EG}$=$\frac{\frac{2\sqrt{505}}{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{505}}{15}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{505}}{15}$．

點評 本題考查的是正方形的性質、菱形和平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質，正確作出輔助性、靈活運用相關的性質定理和判定定理是解題的關鍵．