Question

1．如圖，以△ABC的AB邊為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE，交AC于點(diǎn)E，且DE⊥AC，連接EO．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=5，AE=1，求tan∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則可判斷OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C=∠1，加上∠B=∠1，則∠C=∠B，于是可判定AB=AC；
（2）連接AD，如圖2．先利用三角形中位線性質(zhì)得到OD=$\frac{5}{2}$，再證明△CDE∽△DAE，利用相似比求出DE=2，則利用正切定義得到$tan∠2=\frac{DE}{OD}=\frac{4}{5}$，然后利用OD∥AC得到∠AEO=∠2，所以得到$tan∠AEO=\frac{4}{5}$．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵OD是⊙O半徑，DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C=∠1，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（2）連接AD，如圖．
∵AB=5，AE=1，
∴OD=$\frac{5}{2}$，AC=AB=5，EC=4．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠CDE=90°，
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CDE，
∴△CDE∽△DAE，
∴DE²=CE•AE=4×1=4，
∴DE=2，
在Rt△EDO中，$tan∠2=\frac{DE}{OD}=\frac{4}{5}$，
∵OD∥AC，
∴∠AEO=∠2．
∴$tan∠AEO=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．