Question

1．如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A=48°，∠D=46°．
（1）若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數；
（2）若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等可得出∠OBD=∠ACD-2°，由平分線的定義可得出∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°、∠OCG=$\frac{1}{2}$∠ACO，再結合三角形內角和定理即可得出∠BEC=∠D-1°，代入∠D度數即可得出結論；
（2）由鄰補角互補結合角平分線可得出∠DCM=90°-$\frac{1}{2}$∠ACD，根據三角形外角性質結合（1）中∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°即可得出∠MFC=∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，再根據三角形內角和定理即可得出∠BMC=91°-∠D，代入∠D度數即可得出結論．

解答 解：（1）∵∠D+∠OBD+∠BOD=180°，∠A+∠ACO+∠AOC=180°，∠BOD=∠AOC，
∴∠D+∠OBD=∠A+∠ACO，
∵∠A=48°，∠D=46°，
∴∠OBD=∠ACD-2°．
∵BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，∠OCG=$\frac{1}{2}$∠ACO．
∵∠D+∠DBF+∠BFD=180°=∠BEC+∠OCG+∠CFE，∠BFD=∠OCG，
∴∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°=∠BEC+$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BEC=∠D-1°=45°．
（2）∵∠ACD+∠DCH=180°，CM平分∠DCH交直線BF于M，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCH=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACD）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠MFC=∠D+∠DBF=∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°，∠MFC+∠DCM+∠BMC=180°，
∴∠BMC=180°-∠MFC-∠DCM=180°-（∠D+$\frac{1}{2}$∠ACD-1°）-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACD）=91°-∠D=45°．

點評 本題考查了三角形內角和定義、角平分線、三角形的外角性質、對頂角以及鄰補角，解題的關鍵是：（1）根據三角形內角和定理找出∠BEC=∠D-1°；（2）根據三角形內角和定理找出∠BMC=91°-∠D．本題屬于中檔題，難度不大，但重復用到三角形內角和定義稍顯繁瑣．