Question

16．已知關于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$．
（1）當a滿足2^2a+3-2^2a+1=96時，求方程組的解；
（2）當程組的解滿足x+y=16時，求a的值；
（3）試說明：不論a取什么實數(shù)，x的值始終為正數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先由2^2a+3-2^2a+1=96得a=2，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，即可得出方程組的解；
（2）先根據(jù)方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，再代入2x-4y=-a²+6a+6，可得2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，進而得出a的值；
（3）先把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，再進行配方，即可得出不論a取什么實數(shù)，x的值始終為正數(shù)．

解答 解：（1）由2^2a+3-2^2a+1=96得
2^2a+1（4-1）=96，
∴2^2a+1=32，
∴a=2，
當a=2時，方程組為$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-1}\end{array}\right.$；   

（2）由題可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$  代入2x-4y=-a²+6a+6，可得
2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，
解得a=±4；    

（3）把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得
x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，
由配方得x=$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$，
∵不論a取什么實數(shù)，$\frac{1}{2}$（a+1）²都為非負數(shù)，
∴不論a取什么實數(shù)，$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$都為正數(shù)．

點評 本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解一元二次方程的方法，解決問題的關鍵是掌握二元一次方程組的解法．解題時注意配方的運用，任意一個實數(shù)的平方都是非負數(shù)．