Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，AC=4$\sqrt{5}$，∠ABC=90°，AB=AD，BC=CD，過點D作DE∥BC，交AB于點E，連接AC，BD，AC與BD交于點F．
求：（1）四邊形ABCD的周長；
（2）AF的長度；
（3）△ADE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據勾股定理得到BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，然后根據已知條件即可得到結論；
（2）由AB=AD，BC=CD，得到AC是BD的垂直平分線，根據三角形的面積公式得到BF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，由勾股定理即可得到結論；
（3）根據三角形的面積公式得到DE=$\frac{32}{5}$，根據平行線的性質得到∠AED=∠ABC=90°，根據勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，于是得到結論．

解答 解：（1）∵AB=8，AC=4$\sqrt{5}$，∠ABC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∵AB=AD=8，BC=CD=4，
∴四邊形ABCD的周長=2×（8+4）=24；

（2）∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴∠AFB=90°，
∴BF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$；

（3）∵BD=2BF=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AF=$\frac{1}{2}$AB•DE，
∴DE=$\frac{32}{5}$，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{32}{5}$=$\frac{384}{25}$．

點評 本題考查了勾股定理，三角形面積的計算，線段垂直平分線的性質，證得AC是BD的垂直平分線是解題的關鍵．