Question

19．如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D在邊AC上，點E在邊AB上，且AD=BE，點F為線段DE的中點，求證：EC=2AF．

Answer 1

分析 先過點E作EG∥AC交BC于G，連接FG，則∠ADF=∠GEF，根據已知條件判定△ADF≌△GEF（SAS），得出AF=FG，∠AFD=∠GFE，進而得到點A，F，G在一條直線上，且AG=2AF，再根據SAS判定△ABG≌△CBE，即可得到AG=CE，進而得出CE=2AF．

解答 證明：如圖，過點E作EG∥AC交BC于G，連接FG，則∠ADF=∠GEF，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠BEG=∠BGE=60°，AB=CB，
∴△BEG是等邊三角形，
∴BE=BG=EG，
又∵AD=BE，
∴BE=BG=EG=AD，
∵點F為線段DE的中點，
∴DF=EF，
在△ADF和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EF}\\{∠ADF=∠GEF}\\{AD=GE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
∴AF=FG，∠AFD=∠GFE，
∴點A，F，G在一條直線上，且AG=2AF，
在△ABG和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠B=∠B}\\{BG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE，
∴CE=2AF．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及全等三角形，依據等邊三角形的對應邊相等進行推導．