Question

8．我們來定義下面兩種數：
①平方和數：若一個三位數或者三位以上的整數分成左、中、右三個數后滿足：中間數=（左邊數）²+（右邊數）²，我們就稱該整數為平方和數；例如：對于整數251．它中間的數字是5，左邊數是2，右邊數是1．∵2²+1²=5，∴251是一個平方和數．又例如：對于整數3254，它的中間數是25，左邊數是3，右邊數是4，∵3²+4²=25∴2，34是一個平方和數．當然152和4253這兩個數也是平方和數；
②雙倍積數：若一個三位數或者三位以上的整數分拆成左、中、右三個數后滿足：中間數=2×左邊數×右邊數，我們就稱該整數為雙倍積數；例如：對于整數163，它的中間數是6，左邊數是1，右邊數是3，∵2×1×3=6，∴163是一個雙倍積數，又例如：對于整數3305，它的中間數是30，左邊數是3，右邊數是5，∵2×35=30，∴3305是一個雙倍積數，當然361和5303這兩個數也是雙倍積數；
注意：在下面的問題中，我們統一用字母a表示一個整數分出來的左邊數，用字母b表示一個整數分出來的右邊數，請根據上述定義完成下面問題：
（1）如果一個三位整數為平方和數，且十位數為9，則該三位數為390；如果一個三位整數為雙倍積數，且十位數字為4，則該三位數為241或142；
（2）如果一個整數既為平方和數，又是雙倍積數．則a，b應該滿足什么數量關系；說明理由；
（3）$\overline{a625b}$為一個平方和數，$\overline{a600b}$為一個雙倍積數，求a²-b²．

Answer 1

分析 （1）平方和數以及雙倍積數的定義計算即可．
（2）平方和數以及雙倍積數的定義，列出a、b的關系式，可得a=b．
（3）列方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵三位整數為平方和數，9=3²+0²，
∴左邊數為3，右邊數為0，
∴該三位數為390．
∵三位整數為雙倍積數，且十位數字為4，
4=2×2×1，
∴該三位數為241或142．
故答案為390，241或142．

（2）如果一個整數既為平方和數，又是雙倍積數．則a，b應該滿足a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，
∴a=b．

（3）由題意$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=625}\\{2ab=600}\end{array}\right.$，
易知（a-b）²=25，（a+b）²=1225，
∵a＞0，b＞0，
∴a-b=±5，a+b=35，
∴a²-b²=±175．

點評 本題考查因式分解的應用、平方和數以及雙倍積數的定義、二元二次次方程組等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．