Question

3．如圖，∠AOB平分線上一點C作CD∥OB交OA于點D，E是線段OC的中點，請過點E畫直線分別交射線CD，OB于點M，N，探究線段OD，ON，DM之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數量關系是：OD=DM+ON．首先根據OC是∠AOB的平分線，CD∥OB，判斷出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根據E是線段OC的中點，CD∥OB，推得CM=ON，即可判斷出OD=DM+ON，據此解答即可．
（2）當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數量關系是：OD=ON-DM．由（1），可得OD=DC=CM-DM，再根據CM=ON，推得OD=ON-DM即可．

解答 解：（1）當點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數量關系是：OD=DM+ON．
證明：如圖1，
∵OC是∠AOB的平分線，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是線段OC的中點，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴$\frac{CM}{ON}$=$\frac{CE}{OE}$=1，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．

（2）當點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數量關系是：OD=ON-DM．
證明：如圖2，
由（1），可得
OD=DC=CM-DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM-DM=ON-DM，
即OD=ON-DM．

點評 （1）此題主要考查了平行線的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．
（2）此題還考查了等腰三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．