Question

12．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)上面多面體的模型及表格中的數(shù)據(jù)：

多面體	頂點(diǎn)數(shù)（V）	面數(shù)（F）	棱數(shù)（E）
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2；
（2）一個多面體每個頂點(diǎn)處都有3條棱，多面體的棱數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大10，則這個多面體的面數(shù)是12；
（3）某個玻璃飾品的外形是簡單的多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，每個頂點(diǎn)處都有3條棱，共有棱36條．若該多面體外表面三角形的個數(shù)比八邊形的個數(shù)的2倍多2，求該多面體外表面三角形的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）從表格觀察發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；
（2）根據(jù)一個多面體每個頂點(diǎn)處都有3條棱，多面體的棱數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大10，得到關(guān)于E，V的二元一次方程，解出方程，將其代入頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2即可求解；
（3）設(shè)八邊形的個數(shù)為y個，則三角形的個數(shù)為2y+2個，由題意可得y+2y+2=14，解方程求出y的值即可．

解答 解：（1）∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2；
故答案為：V+F-E=2；
（2）根據(jù)題意，可得$\left\{\begin{array}{l}{E=V+10}\\{E=3V}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{V=5}\\{E=15}\end{array}\right.$，
∵V+F-E=2，
∴F=2+E-V=2+15-5=12，
故答案為：12；
（3））∵$\frac{3V}{2}$=36=E，V=24，V+F-E=2，
∴F=14，
設(shè)八邊形的個數(shù)為y個，
則三角形的個數(shù)為2y+2個，
由題意得y+2y+2=14，
解得：y=4，
∴2y+2=10，
答：該多面體外表面三角形的個數(shù)為10個．

點(diǎn)評 本題考查歐拉公式，熟記多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．