Question

20．如圖，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．
（1）判斷DF與DE的大小關系，并說明理由；
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD，首先利用等腰三角形的性質得到AD⊥BC，AD=CD=BD，從而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE后即可證得DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的值求出，進而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²進行求解．

解答 解：
（1）DF=DE，理由如下：
如圖，連接AD，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}\\{∠CDF=∠ADE}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE（ASA），
∴DF=DE；
（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169．
∴EF=13，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=169，
∴DE=DF=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{13\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{169}{4}$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定和性質，構造三角形全等是解題的關鍵，注意勾股定理的應用．