Question

7．如圖，已知AB是圓O的直徑，AB=10，弦CD與AB相交于點E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的長．

Answer 1

分析 因為∠AEC=30°，可過點O作OF⊥CD于F，構成直角三角形，先求得⊙O的半徑為5cm，進而求得OE=2，然后根據含30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得OF=1cm，根據勾股定理求得DF的長，然后由垂徑定理求出CD的長．

解答 解：過點O作OF⊥CD于F，連接DO，

∵AB=10，
∴AO=OB=OD=5，
∵OE：AE=2：3，
∴OE=2cm．
∵∠AEC=30°，
∴∠OEF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE=1（cm）；
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
由垂徑定理得：CD=2DF=4$\sqrt{6}$．

點評 此題考查了勾股定理，垂徑定理和含30度角的直角三角形．有關弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構造的直角三角形來研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法．