Question

9．已知⊙O的半徑是10，它的內接梯形ABCD的上底AB=12，下底CD=16，求梯形的面積．

Answer 1

分析 梯形的高就是弦AB與CD之間的距離，根據垂徑定理求得兩弦的弦心距，當CD與AB在圓心的同側時，梯形的高等于兩弦心距的差，當CD與AB在圓心的兩側時，梯形的高等于兩弦心距的和，根據梯形的面積公式即可求解．

解答 解：過O作OE⊥CD于E，交AB于F．連接OA，OC．
在直角△OCE中，CE=$\frac{1}{2}$CD=6，OC=10．
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8；
同理，在直角△AOF中，AF=$\frac{1}{2}$AB=8．
∴OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
①如圖1，當CD與AB在圓心的同側時，
則梯形的高EF=OE-OF=8-6=2．
則梯形的面積是：$\frac{1}{2}$（CD+AB）•EF=$\frac{1}{2}$×（12+16）×2=28；
②如圖2，當CD與AB在圓心的同側時，
則梯形的高EF=OE+OF=8+6=14．
則梯形的面積是：$\frac{1}{2}$（CD+AB）•EF=$\frac{1}{2}$×（12+16）×14=196；
綜上：梯形的面積為28或196

點評 本題考查了垂徑定理，注意到分兩種情況進行討論，求得梯形的高是關鍵．