Question

15．如圖，直線AB的函數表達式為y=$\frac{m}{4}$x-m（m≠0，m為常數），點A、B分別在x軸、y軸上，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，點B關于x軸的對稱點為點C，以D（-6，0）為頂點的拋物線經過點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上有點P，以點的C，O，P為頂點的△COP與△ABO相似，請求出點P的坐標；
（3）動點Q在拋物線上，當點Q到直線AB的距離最小時，求出點Q的坐標及最小距離．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C坐標，根據頂點坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+6）²，把C（0，3）代入求出a即可．
（2）分兩種情形討論，①當點P在原點O左邊，滿足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$時，△POC∽△AOB，②當點P在原點O左邊，滿足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$時，△POC∽△BOA，
求出P₁，P₂后，再求出P₃、P₄即可．
（3）如圖2中，設Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，則M（n，$\frac{3}{4}$n-3），首先說明△MQN的三個內角是固定不變的，欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，再根據QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB計算即可．

解答 解：（1）∵直線AB的函數表達式為y=$\frac{m}{4}$x-m，
∴A（4，0），B（0，-m），
在Rt△AOB中，∵OA=4，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴OB=3，m=3，
∴B（0，-3），
∵B、C關于x軸對稱，
∴C（0，3），
∵拋物線的頂點為（-6，0），
∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x+6）²，把C（0，3）代入得a=$\frac{1}{12}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{12}$（x+6）²．

（2）如圖1中，

①當點P在原點O左邊，滿足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$時，△POC∽△AOB，
∴$\frac{OP}{4}$=$\frac{3}{3}$，
∴OP=4，可得P₁（-4，0）．
②當點P在原點O左邊，滿足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$時，△POC∽△BOA，
∴$\frac{OP}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴OP=$\frac{9}{4}$，可得P₂（-$\frac{9}{4}$，0）．
③根據對稱性可知當P₃（$\frac{9}{4}$，0），P₄（4，0）時，也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（-4，0）或（-$\frac{9}{4}$，0）或（4，0）或（$\frac{9}{4}$，0）．

（3）如圖2中，設Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，則M（n，$\frac{3}{4}$n-3），

∵∠MQN+∠AMQ=90°，∠AMQ+∠BAO=90°，
∴∠MQN=∠BAO，
∴△MQN的三個內角是固定不變的，
∴欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，
∵QM=$\frac{1}{12}$（n+6）²-（$\frac{3}{4}$n-3）=$\frac{1}{12}$（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{93}{16}$，
∵$\frac{1}{12}$＞0，
∴n=-$\frac{3}{2}$時，QM的最小值為$\frac{93}{16}$，
∴QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB=$\frac{93}{16}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{93}{20}$．

點評 本題考查二次函數的綜合題、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、勾股定理、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用首先知識，學會用轉化的思想思考問題，學會構建二次函數解決最值問題，第三個問題的關鍵是把求QN的最小值，轉化為求QM的最小值，屬于中考壓軸題．