Question

3．如圖，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點，過點O作OC⊥AB于點C，點P是OA上的動點，若使△PAC為等腰三角形，則點P的坐標是（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

Answer 1

分析 求得A、B的坐標，然后根據勾股定理求得AB，根據三角形面積公式求得OC，即可求得AC，然后分兩種情況即可求得．

解答 解：∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點，
∴A（-4，0），B（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴$\frac{8\sqrt{3}}{3}$•OC=4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=2，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①當AC=AP時，P（2$\sqrt{3}$-4，0）；
②AP=PC時，P（-2，0）．
故答案為：（2$\sqrt{3}$-4，0）或（-2，0）．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等腰三角形的判定以及勾股定理的應用等，分類討論是本題的關鍵．