Question

12．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-5a經過點（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，且點D關于直線BC對稱的點為E，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，已知動點P在第一象限點C與點D之間的拋物線上，當△PDE的面積最大時，請求出△PDE的最大面積及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，5）代入y=ax²+bx-5a得a$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5a=0}\\{-5a=5}\end{array}\right.$，解方程組即可．
（2）先求出點D坐標，求出直線BC的解析式，求出與直線BC垂直的直線的解析式，求出兩直線交點的坐標，再利用中點坐標公式，求出點E坐標．
（3）如圖，作PM∥y軸交DE于M，設P（m，-m²+4m+5），由（2）可知直線DE的解析式為y=x+1，可得M（m，m+1），根據S_△PDE=S_△PEM+S_△PDM構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，5）代入y=ax²+bx-5a得a$\left\{\begin{array}{l}{a-b-5a=0}\\{-5a=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）∵點D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，
∴m+1=-m²+4m+5，
∴m²-3m-4=0，
∴m=4或-1（舍棄），
∴點D坐標（4，5），
對于拋物線y=-x²+4x+5，令y=0，-x²+4x+5=0，解得x=4或-1，
∴B（5，0），∵C（0，5），
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
∴過點D與BC垂直的直線的解析式為y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=x+1與y=-x+5的交點為（2，3），
∵D、E關于點（2，3）對稱，
∴點E坐標為（0，1）．

（3）如圖，作PM∥y軸交DE于M，設P（m，-m²+4m+5），
由（2）可知直線DE的解析式為y=x+1，
∴M（m，m+1），
∴S_△PDE=S_△PEM+S_△PDM=$\frac{1}{2}$•PM•4=2PM=2（-m²+4m+5-m-1）=-2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時，△PDE的面積有最大值，最大值為$\frac{25}{2}$，此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{35}{4}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、一次函數的應用、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用方程組確定利用函數的交點坐標，學會構建二次函數，解決最值問題，屬于中考壓軸題．