Question

7．如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長OA為12m，寬OB為4m，建立直角坐標系，拋物線可用y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c表示．
（1）求拋物線的函數關系式和拱頂D到地面OA的距離．
（2）一輛貨運汽車載集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？
（3）在拋物線型拱壁的兩邊需要安裝兩排燈，使兩排燈的距離不小于4$\sqrt{3}$，那么兩排燈的高度最高是多少米？

Answer 1

分析 （1）根據題意得出點B（0，4）、C（12，4），再利用待定系數法求解可得；
（2）根據題意求出x=6-4=2時的函數值，比較可得；
（3）兩排燈的距離不小于4$\sqrt{3}$，即每排燈到對稱軸的距離為2$\sqrt{3}$，據此可得求得x=6+2$\sqrt{3}$時的函數值，即可得答案．

解答 解：（1）根據題意將點B（0，4）、C（12，4）代入解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{1}{6}×144+12b+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{6}$x²+2x+4=-$\frac{1}{6}$（x-6）²+10，
∴拱頂D到地面OA的距離為10m；

（2）∵當x=6-4=2時，y=-$\frac{1}{6}$（x-6）²+10=-$\frac{1}{6}$×16+10=$\frac{22}{3}$＞6，
∴如果隧道內設雙向行車道，那么這輛貨車能安全通過；

（3）根據題意知，當x=6+2$\sqrt{3}$時，y=-$\frac{1}{6}$×（2$\sqrt{3}$）²+10=8，
∴要使兩排燈的距離不小于4$\sqrt{3}$，那么兩排燈的高度最高是8米．

點評 本題考查了二次函數的應用：構建二次函數模型解決實際問題，利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．