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19.如圖,記拋物線y=-x2+1的圖象與x正半軸的交點為A,將線段OA分成n等份,設分點分別為P1,P2,…,Pn-1,過每個分點作x軸的垂線,分別與拋物線交于點Q1,Q2,…,Qn-1,再記直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,…的面積分別為S1,S2,…,這樣就有S1=$\frac{{{n^2}-1}}{{2{n^3}}},{S_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{2{n^3}}}$,…;記W=S1+S2+…+Sn-1,當n越來越大時,你猜想W最接近的常數是( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{2}{3}$

分析 令y=-x2+1=0可找出點A的坐標,進而可得出Qn-1($\frac{n-1}{n}$,1-$(\frac{n-1}{n})^{2}$)的坐標,結合三角形的面積即可得出Sn-1=$\frac{{n}^{2}-(n-1)^{2}}{2{n}^{3}}$,將其代入W中即可得出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$,隨著n的增大,W值越來越接近$\frac{1}{3}$.

解答 解:當y=-x2+1=0時,x=1或x=-1,
∴點A的坐標為(1,0),
∴Qn-1($\frac{n-1}{n}$,1-$(\frac{n-1}{n})^{2}$),
∴Sn-1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n}$•[1-$(\frac{n-1}{n})^{2}$]=$\frac{{n}^{2}-(n-1)^{2}}{2{n}^{3}}$.
W=S1+S2+…+Sn-1=$\frac{{n}^{2}-1}{2{n}^{3}}$+$\frac{{n}^{2}-{2}^{2}}{2{n}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}-(n-1)^{2}}{2{n}^{3}}$=$\frac{(n-1){n}^{2}-[{1}^{2}+{2}^{2}+…+(n-1)^{2}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{4{n}^{3}-3{n}^{2}-n}{12{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$,
∵當n越來越大時,-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$越來越接近于0,
∴W最接近的常數是$\frac{1}{3}$.
故選B.

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及分式的化簡,根據三角形的面積找出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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10.如上圖,把矩形ABCD沿EF對折,若∠1=36°,則∠AEF等于108°.

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10.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,O是BC的中點,P是射線AO上的一個動點,則當∠BPC=90°時,AP的長為$\sqrt{5}$-1或$\sqrt{5}$+1.

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7.冬至過后,晝夜溫差逐漸加大,山城的市民們已然感受到了深冬的寒意.在還未普遍使用地暖供暖設備的山城,小型電取暖器仍然深受市民的青睞.某格力專賣店銷售壁掛式電暖器和鹵素/石英式取暖器(俗稱“小太陽”),其中壁掛式電暖器的售價是“小太陽”售價的5倍還多100元,2016年12月份壁掛式電暖器和“小太陽”共銷售500臺,壁掛式電暖器與“小太陽”銷量之比是4:1,銷售總收入為58.6萬元.
(1)分別求出每臺壁掛式電暖器和“小太陽”的售價;
(2)隨著“元旦、春節”雙節的來臨和氣溫的回升,銷售進入淡季,2017年1月份,壁掛式電暖器的售價比2016年12月下調了4m%,根據經驗銷售量將比2016年12月下滑6m%,而“小太陽”的銷售量和售價都維持不變,預計銷售總收入將下降到16.04萬元,求m的值.

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14.(1)計算:|$\sqrt{3}$-2|+($\frac{1}{2}$)-1-(π-3.14)0-$\root{3}{27}$;
(2)計算:[xy(3x-2)-y(x2-2x)]÷x2y.

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4.如圖,邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O,點E是AB上的一動點(不與A,B重合),點F是BC上的一點,連接OE,OF,分別與AB,BC交于點G,H,且∠EOF=90°.
(1)求證:$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$;
(2)試判斷△OGH的形狀,并說明理由;
(3)隨著點E位置的變化,四邊形OGBH的面積是否發生變化?請說明理由.

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11.計算下列各題:
(1)(-1)-(-7)+(-8)
(2)-$\frac{1}{3}$÷(-3)×(-$\frac{1}{3}$)
(3)($\frac{1}{5}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{5}{12}$)+(-$\frac{1}{60}$)
(4)-125+(-25)-64+(-4)
(5)(-2)4÷(-8)-(-$\frac{1}{2}$)3×(-22

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8.觀察下列式子:
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$,
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
將以上三個等式兩邊分別相加得:
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
用你發現是規律解答下列問題:
(1)①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$.
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{n}{n+1}$(其中n為大于1的自然數).
(2)探究并計算:
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$.

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9.計算:$\root{3}{8}$+|$\sqrt{2}$-2|+(-1)2016-($\frac{1}{3}$)-1

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