Question

19．如圖，記拋物線y=-x²+1的圖象與x正半軸的交點為A，將線段OA分成n等份，設分點分別為P₁，P₂，…，P_n-1，過每個分點作x軸的垂線，分別與拋物線交于點Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再記直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…的面積分別為S₁，S₂，…，這樣就有S₁=$\frac{{{n^2}-1}}{{2{n^3}}}，{S_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{2{n^3}}}$，…；記W=S₁+S₂+…+S_n-1，當n越來越大時，你猜想W最接近的常數是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 令y=-x²+1=0可找出點A的坐標，進而可得出Q_n-1（$\frac{n-1}{n}$，1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$）的坐標，結合三角形的面積即可得出S_n-1=$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$，將其代入W中即可得出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$，隨著n的增大，W值越來越接近$\frac{1}{3}$．

解答 解：當y=-x²+1=0時，x=1或x=-1，
∴點A的坐標為（1，0），
∴Q_n-1（$\frac{n-1}{n}$，1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$），
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n}$•[1-$（\frac{n-1}{n}）^{2}$]=$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$．
W=S₁+S₂+…+S_n-1=$\frac{{n}^{2}-1}{2{n}^{3}}$+$\frac{{n}^{2}-{2}^{2}}{2{n}^{3}}$+…+$\frac{{n}^{2}-（n-1）^{2}}{2{n}^{3}}$=$\frac{（n-1）{n}^{2}-[{1}^{2}+{2}^{2}+…+（n-1）^{2}]}{2{n}^{3}}$=$\frac{4{n}^{3}-3{n}^{2}-n}{12{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$，
∵當n越來越大時，-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$越來越接近于0，
∴W最接近的常數是$\frac{1}{3}$．
故選B．

點評 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及分式的化簡，根據三角形的面積找出W=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n}$-$\frac{1}{12{n}^{2}}$是解題的關鍵．