Question

4．如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，點E是AB上的一動點（不與A，B重合），點F是BC上的一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，H，且∠EOF=90°．
（1）求證：$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）試判斷△OGH的形狀，并說明理由；
（3）隨著點E位置的變化，四邊形OGBH的面積是否發生變化？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$，只要證明∠AOE=∠BOF即可．
（2）結論：△OGH是等腰直角三角形．只要證明△AOG≌△BOH，可得OG=OH，即可證明．
∴OG=OH，
（3）結論：四邊形OGBH的面積不發生變化．由△AOG≌△BOH，推出四邊形OGBH的面積=△AOB的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OB、OA．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

（2）解：結論：△OGH是等腰直角三角形．
理由：如圖1中，在△AOG和△BOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠BOH}\\{∠OAG=∠OBH=45°}\\{OA=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BOH；
∴OG=OH，∵∠GOH=90°，
∴△OGH是等腰直角三角形．

（3）解：結論：四邊形OGBH的面積不發生變化．
理由：如圖1中，∵△AOG≌△BOH，
∴四邊形OGBH的面積=△AOB的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積，
∴四邊形OGBH的面積不發生變化．

點評 此題考查了圓的綜合題，關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，等弦對等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面積的計算，綜合性較強，有一定的難度．