Question

16．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3$\sqrt{2}$，⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，點P是AB邊上的一動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則PQ長度的取值范圍為$\sqrt{7}$≤PQ≤4．

Answer 1

分析 首先連接OP、OQ，根據勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，可得當OP⊥AB時，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：連接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，
∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=6，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=3，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
當點P與點B或點A重合時，PQ=$\sqrt{O{B}^{2}-O{Q}^{2}}$=4，
∴$\sqrt{7}$≤PQ≤4．
故答案為：$\sqrt{7}$≤PQ≤4．

點評 本題考查了切線的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PO⊥AB時，線段PQ最短是關鍵．