Question

6．在矩形ABCD中，已知AB=5cm，BC=6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度運動；同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度運動．當點Q運動到點C時，兩點停止運動．設運動時間為t秒．
（1）分別用含t的代數式表示PB與BQ；
（2）當t為何值時，PQ的長度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm²？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）依據點P和點Q運動的速度和時間可求得AP、BQ的長，然后依據PB=AB-PA可求得PB的長；
（2）Rt△PBQ中，依據勾股定理可得到關于t的方程，從而可求得t的值；
（3）先求得矩形ABCD的面積，然后由五邊形的面積可求得△PQB的面積=4cm²，然后依據△PQB的面積=4cm²列出關于t的方程，從而可求得t的值．

解答 解：（1）∵P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，
∴AP=tcm．
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm．
∵點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，
∴BQ=2tcm．
（2）在Rt△PBQ中，依據勾股定理可知：PB²+BQ²=PQ²，即：（5-t）²+（2t）²=5²，
解得：t₁=0（不合題意舍去），t₂=2
當t=2秒時，PQ的長度等于5cm．
（3）存在t=1秒，使得五邊形APQCD的面積等于26cm²．
理由如下：長方形ABCD的面積是：5×6=30（cm²）
使得五邊形APQCD的面積等于26cm²
則△PBQ的面積為30-26=4（cm²）
∴$\frac{1}{2}$×（5-t）×2t=4．
解得：t₁=4（不合題意舍去），t₂=1，
即當t=1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm²．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、勾股定理、三角形的面積公式，依據勾股定理和三角形的面積公式列出關于t的方程是解題的關鍵．