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8.觀察下列式子:
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$,
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
將以上三個等式兩邊分別相加得:
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
用你發(fā)現(xiàn)是規(guī)律解答下列問題:
(1)①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$.
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{n}{n+1}$(其中n為大于1的自然數(shù)).
(2)探究并計算:
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$.

分析 (1)①根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可;
②根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可;
(2)首先提取$\frac{1}{4}$,再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可.

解答 解:(1)根據(jù)題意得:①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$;
故答案為:$\frac{2015}{2016}$;
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$;
故答案為:$\frac{n}{n+1}$;
(2)$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+$…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{4}$($\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1007×1008}$)
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1007}{1008}$
=$\frac{1007}{4032}$.

點評 本題考查了有理數(shù)的混合運算、數(shù)字的變化;根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算是解決問題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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19.如圖,記拋物線y=-x2+1的圖象與x正半軸的交點為A,將線段OA分成n等份,設(shè)分點分別為P1,P2,…,Pn-1,過每個分點作x軸的垂線,分別與拋物線交于點Q1,Q2,…,Qn-1,再記直角三角形OP1Q1,P1P2Q2,…的面積分別為S1,S2,…,這樣就有S1=$\frac{{{n^2}-1}}{{2{n^3}}},{S_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{2{n^3}}}$,…;記W=S1+S2+…+Sn-1,當(dāng)n越來越大時,你猜想W最接近的常數(shù)是(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{2}{3}$

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16.如圖,在Rt△AOB中,OA=OB=3$\sqrt{2}$,⊙O的半徑為$\sqrt{2}$,點P是AB邊上的一動點,過點P作⊙O的一條切線PQ(點Q為切點),則PQ長度的取值范圍為$\sqrt{7}$≤PQ≤4.

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3.-2.5的倒數(shù)等于-$\frac{2}{5}$.

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13.如圖,用一段長為15m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長為10m,其中一邊BC留一道1m寬的門.
(1)設(shè)圖中AB(與墻垂直的邊)的長為xm,請用含x的式子表示AD的長并直接寫出x的取值范圍;
(2)若整個菜園的總面積為24m2,求AB的長.

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20.如圖,已知點A、F、E、C在同一直線上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE.
(1)寫出圖中任兩組全等三角形;
(2)從(1)中任選一組進行證明.

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17.某商品的進價為每件40元,當(dāng)售價為每件50元時,每個月可賣出200件,如果每件商品的售價每上漲1元,則每個月少賣10件,設(shè)每件商品的售價為x(x>50)元,每個月的銷售利潤為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)每件商品的售價定為多少元時,月銷售利潤最大?最大月銷售利潤是多少元?

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18.如圖,△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,∠ADE=∠C,∠BAC的平分線AG分別交線段DE,BC于點F,G.
(1)求證:△AEF∽△ABG;
(2)若$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

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同步練習(xí)冊答案
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