Question

8．觀察下列式子：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…
將以上三個等式兩邊分別相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
用你發(fā)現(xiàn)是規(guī)律解答下列問題：
（1）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$（其中n為大于1的自然數(shù)）．
（2）探究并計算：
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可；
②根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可；
（2）首先提取$\frac{1}{4}$，再根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
故答案為：$\frac{2015}{2016}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故答案為：$\frac{n}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+$…+$\frac{1}{2014×2016}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1007×1008}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1007}{1008}$
=$\frac{1007}{4032}$．

點評 本題考查了有理數(shù)的混合運算、數(shù)字的變化；根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算是解決問題的關(guān)鍵．