Question

5．如圖，一次函數y=-x-1與反比例函數y=$\frac{m}{x}$在第二象限交于點A，一次函數y=-x-1與坐標軸分別交于B、C兩點，連結AO，若tan∠AOB=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）在x軸上有一點D，使得△BCD的面積與△AOC的面積相等，求點D的坐標？

Answer 1

分析 （1）設出A點的坐標為（a，b）（a＜0），結合題意，由于tan∠AOB=$\frac{1}{3}$，易得出3b+a=0；又因為A點一次函數圖象上，即有-a-1=b，兩方程聯立即可得出A點的坐標，代入反比例函數解析式中，得k，便可得出反比例函數解析式；
（2）利用一次函數解析式，得出C點的坐標，易得OC的長，結合（1），可得出點A到y軸的距離為A點橫坐標的絕對值，代入三角形面積公式，即可得出△AOC的面積．然后設出D的坐標，根據三角形的面積公式求解．

解答 解：（1）設A（a，b），結合題意，
-a-1=b，
又tan∠AOB=$\frac{1}{3}$，
即有3b+a=0；
可得出a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
即A（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
代入反比例函數解析式中，有$\frac{1}{2}$=$\frac{m}{-\frac{3}{2}}$，
得m=$\frac{3}{4}$，
故反比例函數解析式為：y=$\frac{3}{4x}$；
（2）因為一次函數y=-x-1與坐標軸交C點，
令x=0，得y=-1，
即C（0，-1）；
所以OC=1；
又∵A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
即點A到x軸的距離為$\frac{1}{2}$，
因為一次函數y=-x-1與x軸交B點，
令y=0，得x=-1，
即B（-1，0）；
則OB=1，
所以S_△AOC=$\frac{1}{2}$OB•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{3}{4}$．
設D的橫坐標是（m，0），
則BD=|m+1|．
則$\frac{1}{2}$|m+1|×1=$\frac{3}{4}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$或-$\frac{5}{2}$．
則D的坐標是（$\frac{1}{2}$，0）或（-$\frac{5}{2}$，0）．

點評 本題主要考查了反比例函數和一次函數的綜合應用，以及三角形的面積的求法等知識點，題目較為簡單，適合學生平時的練習使用．