Question

13．如圖，在矩形OABC中，點C在x軸上，點A在y軸上，且OA，OC的長分別是一元二次方程x²-18x+80=0的兩個根（OA＜OC），點E在BC上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在OC上．
（1）求點A，點C的坐標；
（2）反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點E，求k的值；
（3）在直線AD，ED上是否分別存在點M和點N，使以C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程可求得OA、OC的長，則可求得點A、C的坐標；
（2）由折疊的性質可得AD=AB，DE=BE，在Rt△AOD中可求得OD，則可求得CD，設CE=y，則可用y表示出DE的長，在Rt△CDE中，由勾股定理可得到關于y的方程，可求得CE的長，則可求得E點坐標，代入反比例函數解析式可求得k的值；
（3）用待定系數法可求得直線AD、DE的解析式，則可設出點M的橫坐標為t，當CD為平行四邊形的邊時，則用t可表示出MN，由MN=CD可得到關于t的方程，可求得t的值，可求得M點的坐標；當CD為對角線時，如圖4，過M作MG⊥OC于G，可知此時平行四邊形為矩形，利用同角的三角函數求出MG、CG的長，從而可得點M的坐標．

解答 解：（1）解方程x²-18x+80=0，可得x=10或x=8，
∵OA，OC的長分別是一元二次方程x²-18x+80=0的兩個根（OA＜OC），
∴OA=8，OC=10，
∴A（0，8），C（10，0）；
（2）由折疊得：AD=AB=10，DE=BE，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∴CD=OC-OD=10-6=4，
設CE=y，則BE=DE=8-y，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：DE²=CE²+DC²，
即（8-y）²=y²+4²，解得y=3，
∴E（10，3），
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點E，
∴k=10×3=30；
（3）∵A（0，8），D（6，0），E（10，3），
∴設直線AD解析式為y=kx+8，
把D（6，0），A（0，8）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
設直線DE解析式為y=mx+s，
把D、E坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6m+s=0}\\{10m+s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{s=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線DE解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
∵點M在直線AD上，
∴設M（t，-$\frac{4}{3}$t+8），
∵以C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴有CD為邊和CD為對角線兩種情況，
①當CD為邊時，則MN∥CD，且MN=CD=4，
當M、N在x軸上方時，如圖2，則N點坐標為（t+4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直線DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t+4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{114}{25}$
當t=$\frac{114}{25}$時，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{114}{25}$+8=$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
當M、N在x軸下方時，則N點坐標為（t-4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直線DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t-4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{186}{25}$
當t=$\frac{186}{25}$時，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{186}{25}$+8=-$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
②當CD為對角線時，如圖4，過M作MG⊥OC于G，
由折疊得：∠ADE=∠B=90°，
∴∠EDM=90°，
∴?DMCN是矩形，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
sin∠EDC=$\frac{EC}{ED}=\frac{NC}{DC}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{NC}{4}$，
∴NC=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：DN=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DM=NC=$\frac{12}{5}$，CM=DN=$\frac{16}{5}$，
∵DN∥MC，
∴∠EDC=∠DCM，
sin∠EDC=sin∠DCM=$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{CM}$，
$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{\frac{16}{5}}$，
∴MG=$\frac{48}{25}$，
同理可得：CG=$\frac{64}{25}$，
∴OG=10-$\frac{64}{25}$=$\frac{186}{25}$，
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
綜上所述，存在點M和點N，使以C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標為（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）或（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）．

點評 本題是反比例函數、矩形、方程的綜合題，考查了坐標與圖形特點，矩形、平行四邊形的性質，三角函數，勾股定理，折疊等知識，綜合性較強，難度適中，注意第三問中存在的平行四邊形要采用分類討論的思想，不要漏解，要從CD為邊和對角線兩方面考慮．