Question

18．（1）用適當的方法解下列一元二次方程：x²-6x+1=0．
（2）如圖，已知E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，且AE=DF，求證：BE=CF．

Answer 1

分析 （1）用配方法解一元二次方程，首先將常數項移到等號的右側，將等號左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即可將等號左邊的代數式寫成完全平方形式．
（2）根據矩形對角線的性質，矩形對角線互相平分且相等，可知EO=FO，BO=CO，∠BOE=∠COF，可知△BOE≌△COF，即可得出BE=CF．

解答 （1）解：x²-6x+1=0．
移項得，x²-6x=-1，
配方得，x²-6x+9=-1+9，
∴（x-3）²=8，
∴x-3=±2$\sqrt{2}$，
∴x₁=3+2$\sqrt{2}$，x₂=3-2$\sqrt{2}$．
（2）證明：∵矩形ABCD的對角線為AC和BD，
∴AO=CO=BO=DO，
∵E、F分別是矩形ABCD的對角線AC和BD上的點，AE=DF，
∴EO=FO，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{EO=FO}&{\;}\\{∠EOB=∠FOC}&{\;}\\{BO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴BE=CF．

點評 本題考查了配方法解一元二次方程，矩形的性質，全等三角形的判定與性質；熟練掌握配方法解一元二次方程和矩形的性質，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．