Question

7．已知：如圖，以AB為直徑作半圓，半徑OC⊥AB，以OC為直徑作⊙OO′，再作⊙A′和⊙B都與AB、⊙O及⊙O′相切，如果AB=2R，求⊙A′的半徑．

Answer 1

分析 連接OA′并延長交⊙O于D，作A′E⊥AB于E，A′F⊥OC于F，連接A′O′，如圖，設⊙A′的半徑為r，利用切線的性質和相切兩圓的連心線過切點得到OC=OD=R，A′D=A′E=r，A′O′=r+$\frac{R}{2}$，再證明四邊形A′EOF為矩形得到OF=A′E=r，則O′F=O′O-OF=$\frac{R}{2}$-r，接著利用勾股定理建立方程得到（R-r）²-r²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，然后解關于r的一元二次方程即可．

解答 解：連接OA′并延長交⊙O于D，作A′E⊥AB于E，A′F⊥OC于F，連接A′O′，如圖，設⊙A′的半徑為r，
∵⊙A′和⊙B都與AB、⊙O及⊙O′相切，
∴OC=OD=R，A′D=A′E=r，A′O′=r+$\frac{R}{2}$，
∵OC⊥AB，A′E⊥AB，A′F⊥OC，
∴四邊形A′EOF為矩形，
∴OF=A′E=r，
∴O′F=O′O-OF=$\frac{R}{2}$-r，
在Rt△A′OF中，A′F²=OA′²-OF²=（R-r）²-r²，
在Rt△A′O′F中，A′F²=O′A′²-O′F²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，
∴（R-r）²-r²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，
整理得r²-3Rr+R²=0，解得r₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$R，r₂=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$R（舍去），
∴⊙A′的半徑為$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$R．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了兩圓相切的性質和勾股定理．