Question

19．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切，切點為B，AC與⊙O相交于點D，點E是$\widehat{AD}$上任一點．
（1）求證：∠BED=∠DBC；
（2）已知：AD=CD=3，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，再根據切線的性質得∠DBC+∠ABD=90°，加上∠A=∠BED，于是可得∠BED=∠DBC；
（2）連接OD，如圖，利用直角三角形斜邊上的中線性質得到BD=AD=CD，則可判斷△ABD為等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$BD=3$\sqrt{2}$，∠A=45°，再利用圓周角定理得到∠BOD=2∠A=90°，然后根據扇形面積公式，利用S_陰影部分=S_扇形BOD-S_△BOD進行計算即可．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵BC與⊙O相切，切點為B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
即∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠A=∠DBC，
∵∠A=∠BED，
∴∠BED=∠DBC；
（2）解：連接OD，如圖，
∵AD=CD=3，
∴BD=AD=CD，
∴△ABD為等腰直角三角形，AB=$\sqrt{2}$BD=3$\sqrt{2}$，
∴∠A=45°，
∴∠BOD=2∠A=90°，
∴S_陰影部分=S_扇形BOD-S_△BOD=$\frac{90•π•（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9π-18}{8}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質和不規則幾何圖形面積的計算方法．