Question

17．根據已知條件確定二次函數的表達式
（1）圖象的頂點為（2，3），且經過點（3，6）
（2）二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸為x=3，最小值為-2，且過（0，1），求此函數的解析式．
（3）圖象經過點（1，0），（0，-3），且對稱軸是直線x=2．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線的頂點坐標設出，拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+3，再把（3，6）代入，求出a的值，即可得出二次函數的解析式；
（2）設頂點式為y=a（x-3）²-2，然后把（0，1）代入求出a即可；
（3）根據題意設出拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐標代入，利用待定系數法求得即可．

解答 解：（1）∵圖象的頂點為（2，3），且經過點（3，6），
設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+3，再把（3，6）代入，
可得a（3-2）²+3=6，
∴a=3，
∴拋物線的解析式為：y=3（x-2）²+3；

（2）設拋物線解析式為y=a（x-3）²-2，
把（0，1）代入得9a-2=1，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2；

（3）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k．把A（1，0），B（0，-3）的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{0={a（1-2）}^{2}+k}\\{-3={a（0-2）}^{2}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=1}\end{array}\right.$
∴y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3．
即這個二次函數的解析式為y=-x²+4x-3．

點評 本題主要考查了待定系數法求解析式，二次函數的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）； ②頂點式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標； ③交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0）；熟練掌握并運用以上三種解析式是解答此題的關鍵．