Question

9．如圖，CE是直角△ABC斜邊AB上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，過B作BG⊥AP于G，交CE于D，求證：CE²=PE•DE．

Answer 1

分析 首先證Rt△ACE∽R(shí)t△CBE，得出CE²=AE•BE（即射影定理）；再通過證△AEP∽△BED，得出PE•DE=AE•BE，聯(lián)立上述兩式即可得出本題要證的結(jié)論．

解答 證明：
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCE，
∴Rt△ACE∽R(shí)t△CBE；
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$；
∴CE²=AE•BE；
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠P=∠3，
∴△AEP∽△DEB，
∴$\frac{PE}{BE}=\frac{AE}{DE}$，
∴PE•DE=AE•BE，
∴CE²=PE•DE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證Rt△ACE∽R(shí)t△CBE．