Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=$5\sqrt{5}$，則下列結論：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC=2；④四邊形ABCD的面積為31；⑤BD=2$\sqrt{41}$．正確的是②③④⑤．

Answer 1

分析 根據勾股定理及其逆定理可得AC²+CD²=DA²知∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①錯誤，②正確；根據正切函數的定義可判斷③；根據四邊形ABCD的面積為S_△ABC+S_△ACD可判斷④；作DM⊥BC，交BC延長線于M，連接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，證出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的對應邊成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可判斷⑤．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
在△ACD中，∵CD=10，DA=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=25+100=125=DA²，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①錯誤，②正確；

在Rt△ACD中，tan∠DAC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{10}{5}$=2，故③正確；

S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AC•CD
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×10
=31，
故④正確；

作DM⊥BC，交BC延長線于M，如圖所示：

則∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∵CD=10，AD=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，故⑤正確；
故答案為：②③④⑤．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質，證明由勾股定理的逆定理證出△ACD是直角三角形是解決問題的關鍵．