Question

20．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與一次函數y=-x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設P（x，y）是拋物線在第一象限內的一個動點，過點P作直線PH⊥x軸于點H，交直線AB于點M．
①求當x取何值時，PM有最大值？最大值是多少？
②當PM取最大值時，以A、P、M、N為頂點構造平行四邊形，求第四個頂點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、B的坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；
（2）①可利用x表示出點M的坐標，構建二次函數即可解決問題．②畫出圖形，滿足條件的點N有三個．

解答 解：（1）∵一次函數y=-x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點，
∴A（0，4），B（4，0），
把A（0，4），B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．

（2）①如圖1中，設P（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），則M（x，-x+4）．

∴PM=-$\frac{1}{2}$x²+m+4-（-x+4）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=2時，pM的值最大，最大值為2．

②由①可知P（2，4），M（2，2），

當以A、P、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，N₁（0，6），N₂（4，2），N₃（0，2）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，注意一題多解，不能漏解．屬于中考常考題型．