Question

8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，作∠CAD=∠B，且點E在BC的延長線上，CE⊥AD于點E，
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是5，CE=2，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由于BC是⊙O的直徑，所以∠BAC=90°，由于∠CAD=∠BAO，所以∠CAD+∠OAC=∠BAO+∠OAC=90°，從而可知AD是⊙O的切線．
（2）證明△BAC∽△AEC，根據相似三角形的性質即可求出AC的長度，然后根據sinB=$\frac{AC}{BC}$即可求出答案．

解答 解：（1）連接OA，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵OB=OA，
∴∠B=∠BAO，
∵∠B=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAO，
∴∠CAD+∠OAC=∠BAO+∠OAC=90°，
∵OA是⊙O的半徑，
∴AD是⊙O的切線，

（2）由題意可知：BC=10，
∵∠B=∠CAE，∠BAC=∠AEC=90°，
∴△BAC∽△AEC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CE}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴sinB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的判定，相似三角形的性質與判定，銳角三角函數，解方程等知識，本題屬于中等題型．