Question

16．如圖，已知拋物線與y軸交于點C（0，-3），與x軸交于點A（-1，0）B（4，0），將△ABC繞點C順時針旋轉α得△A₁B₁C（點A，B的對應點分別為點A₁，B₁），CB₁交拋物線于點D，射線A₁B₁與射線BC交于點E．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當點A₁落在AB邊上時，判斷CB₁與AB的位置關系，并說明理由，求出此時點E的坐標；
（3）旋轉過程中，在直線BC上是否存在點P，使得以A₁，B₁，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標代入求解即可；
（2）由旋轉的性質可知∠ACA₁=∠BCB₁，然后再證明△ABC為等腰三角形，依據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可證明∠ABC=∠ACA1，故此可得到∠ABC=∠BCB₁；
（3）當CP為平行四邊形的對角線時，取AB的中點D，連結CD，依據勾股定理求得CD的長，然后依據旋轉的性質求得CE的長，故此可求得PC的長，然后可求得點P的坐標，當CP為平行四邊形的邊時，可求得CP=5，然后可求得點P的坐標．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點C的坐標代入得：-4a=-3，解得：a=$\frac{3}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3．
（2）由旋轉的性質可知AC=A₁C，∠ACA₁=∠BCB₁，
∴∠A₁AC=∠CA₁A．
∵CB=$\sqrt{C{O}^{2}+O{B}^{2}}$=5，AB=5，
∴AB=BC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠ACA₁=∠ABC．
∴∠ABC=∠BCB₁，
∴CB₁∥AB．
（3）如圖1所示：取AB的中點D，連結CD．

由題意可知OD=1.5，依據勾股定理可知CD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
由旋轉的性質可知CE=CD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∴CP=3$\sqrt{5}$．
點P的坐標為（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{9\sqrt{5}-15}{5}$）．
同理：如圖2所示時，PC=3$\sqrt{5}$．

∴點P的坐標為（-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{-9\sqrt{5}-15}{5}$）．
如圖3所示：

∵四邊形CA₁B₁P為平行四邊形，
∴PC=A₁B₁=5．
∴點P的坐標為（-5×$\frac{4}{5}$，-3-5×$\frac{3}{5}$），即P（-4，-6）．
如圖4所示：同理可知：CP=5．

∴點P的坐標為（5×$\frac{4}{5}$，-3+5×$\frac{3}{5}$），即P（4，0）．
綜上所述點P的坐標為（$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{9\sqrt{5}-15}{5}$）或（-$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$\frac{-9\sqrt{5}-15}{5}$）或（-4，-6）或（4，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，旋轉的性質、等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，求得PC的長是解題的關鍵．