Question

5．如圖，將半徑為3cm，圓心角為60°的扇形紙片．AOB在直線l上向右作無滑動的滾動至扇形A′O′B′處，則頂點O經過的路線總長4πcm（結果保留π）．

Answer 1

分析 觀察頂點O經過的路線，可以看出頂點O經過的路線分為三段，分別求出三段的長，再求出它的總和即是頂點O經過的路線總長．

解答 解：頂點O經過的路線可以分為三段，
第一段：當弧AB切直線l于點B時，有OB⊥直線l，此時O點繞不動點B轉過了90°．
此時點O經過了以O為圓心，以3為半徑的圓的周長的$\frac{1}{4}$，即經過了$\frac{1}{4}$×2π×3=$\frac{3}{2}π$；
第二段：OB⊥直線l到OA⊥直線l，O點繞動點轉動，而這一過程中弧AB始終是切于直線l的，
所以O與轉動點的連線始終⊥直線l，
所以O點在水平運動，此時O點經過的路線長=BA’=AB的弧長=$\frac{60×π×3}{180}$=π；
第三段：OA⊥直線l到O點落在直線l上，O點繞不動點A轉過了90°，
此時點O經過了以O為圓心，以3為半徑的圓的周長的$\frac{1}{4}$，即經過了$\frac{1}{4}$×2π×3=$\frac{3}{2}π$；
所以，O點經過的路線總長S=$\frac{3}{2}π$+π+$\frac{3}{2}π$=4π．
故答案為4π．

點評 本題考查了圓的周長公式、弧長公式．能夠看懂圖，知道點O經過的三段是解決本題的關鍵．弧長公式=$\frac{nπr}{180}$．