Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABO的邊AB垂直于x軸、垂足為點B，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象經過AO的中點C、且與AB相交于點D，OB=8、AD=6．
（1）求反比例函數y=$\frac{k}{x}$的解析式．
（2）求經過C，D兩點的一次函數解析式．

Answer 1

分析 （1）設點D的坐標為（8，m）（m＞0），則點A的坐標為（8，6+m），由點A的坐標表示出點C的坐標，根據C、D點在反比例函數圖象上結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于k、m的二元一次方程，解方程即可得出結論；
（2）由m的值，可找出點C、D的坐標，設出過點C、D的一次函數的解析式為y=ax+b，由點C、D的坐標利用待定系數法即可得出結論．

解答 解：（1）設點D的坐標為（8，m）（m＞0），則點A的坐標為（8，6+m），
∵點C為線段AO的中點，
∴點C的坐標為（4，$\frac{6+m}{2}$）．
∵點C、點D均在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的函數圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=8m}\\{k=12+2m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=16}\\{m=2}\end{array}\right.$．
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{16}{x}$．
（2）∵m=2，
∴點C的坐標為（4，4），點D的坐標為（8，6）．
設經過點C、D的一次函數的解析式為y=ax+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=4}\\{8a+b=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴經過C、D兩點的一次函數解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征、解直角三角形以及待定系數法求函數解析式，解題的關鍵是：（1）由反比例函數圖象上點的坐標特征找出關于k、m的二元一次方程組；（2）求出點C、D的坐標．本題屬于基礎題，難度不大，但考查的知識點較多，解決該題型題目時，利用反比例函數圖象上點的坐標特征找出方程組，通過解方程組得出點的坐標，再利用待定系數法求出函數解析式即可．