Question

9．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（1，4），B（-4，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，使|PA-PB|的值最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，得到m=4，于是得到反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，把B（-4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得，得到B（-4，-1），解方程組得到一次函數(shù)的表達(dá)式是y=x+3；
（2）如圖作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（-4，1），連接AB′并延長(zhǎng)交x軸于P，則此時(shí)|PA-PB|的值最大，求得直線AB′的解析式為：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，于是得到P（-$\frac{17}{3}$，0）；根據(jù)三角形的面積的和差即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，
∴m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
把B（-4，n）代入y=$\frac{4}{x}$得，n=$\frac{4}{-4}$=-1，
∴B（-4，-1），
把A（1，4），B（-4，-1）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{-1=-4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式是y=x+3；
（2）如圖作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，
則B′（-4，1），
連接AB′并延長(zhǎng)交x軸于P，則此時(shí)|PA-PB|的值最大，
設(shè)直線AB′的解析式為：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=m+n}\\{1=-4m+n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為：y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{17}{5}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-$\frac{17}{3}$，
∴P（-$\frac{17}{3}$，0）；
∵直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
∴△PAB的面積=S_△APC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×（1+4）=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，軸對(duì)稱-最短距離問(wèn)題，三角形面積的計(jì)算，找出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．