Question

6．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連結CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點E．
（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是直角三角形；
（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°-30°=90°，則△ACD是直角三角形．
（2）分類討論：當∠CDE=∠ECD時，EC=DE；當∠ECD=∠CED時，CD=DE；當∠CED=∠CDE時，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行計算．

解答 解：（1）∵△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=30°，
又∵∠CDE=30°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案為：直角三角形；

（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①當∠CDE=∠ECD時，EC=DE，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，
∴∠AED=60°，
②當∠ECD=∠CED時，CD=DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=$\frac{180°-∠CDE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠AED=180°-∠CED=105°，
③當∠CED=∠CDE時，EC=CD，
∠ACD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ACB=120°，
∴此時，點D與點B重合，不合題意．
綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數為60°或105．

點評 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和為180°．也考查了分類討論思想的運用以及等腰三角形的判定與性質．